공통수학1 방정식 부등식 탐구보고서

📕 공통수학1 · 방정식과 부등식 심화 탐구

제한 시간 안에 몇 명까지 악수 사진을 찍을 수 있을까?

악수 횟수를 이차식으로 나타내고, 촬영 시간의 조건을 이차부등식으로 확장하여 가능한 최대 인원을 구한다.

선정 도서: 『세상을 이해하는 아름다운 수학공식』 핵심 개념: 이차방정식·이차부등식 수학적 모델링 탐구

CONTENTS 탐구 동기선정 도서 교과 개념상황 모델링 이차방정식이차부등식 일반화결론

방정식은 정확히 같은 순간을 찾고, 부등식은 조건을 만족하는 가능한 범위를 찾는다. 같은 악수 사진 문제도 질문을 조금 바꾸면 이차방정식에서 이차부등식으로 자연스럽게 확장된다.

탐구 동기와 문제 설정

공통수학1에서 이차방정식의 근의 공식과 판별식, 이차부등식의 해를 배운다. 그러나 교과서의 식만 보면 방정식과 부등식이 현실의 어떤 판단에 사용되는지 체감하기 어렵다.

『세상을 이해하는 아름다운 수학공식』은 국제 행사에 모인 사람들이 서로 악수하는 모습을 촬영하는 상황을 제시한다. 사람이 늘어날수록 악수하는 쌍의 수가 빠르게 증가하며, 제한된 시간 안에 촬영할 수 있는 인원을 이차방정식으로 계산한다. 이 사례를 바탕으로 다음 질문을 탐구하였다.

QUESTION 01n명이 서로 한 번씩 악수하면 전체 악수 횟수는 왜 이차식이 될까?

QUESTION 02정해진 시간을 정확히 사용할 때와 넘지 않을 때의 식은 어떻게 다를까?

QUESTION 031시간 동안 모든 악수 사진을 찍을 수 있는 최대 인원은 몇 명일까?

QUESTION 04촬영 시간이 달라지면 최대 인원을 일반식으로 나타낼 수 있을까?

한 권의 책을 선정한 이유

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『세상을 이해하는 아름다운 수학공식』

책의 ‘다이어그램: 신비의 장미’ 부분은 여러 사람이 서로 악수하는 횟수를 n(n−1)/2로 나타내고, 사진 한 장에 걸리는 시간과 남은 시간을 이용해 이차방정식을 세운다. 교과서의 이차방정식을 실제 시간 계획 문제와 직접 연결할 수 있다는 점에서 탐구 도서로 선정하였다.

책에서는 남은 시간을 정확히 사용하는 인원을 방정식으로 계산한다. 본 탐구에서는 여기서 한 단계 더 나아가, 제한 시간을 넘지 않는 최대 인원을 찾는 이차부등식 문제로 확장하였다.

교과 개념 정리

이차방정식

ax²+bx+c=0처럼 미지수의 최고차항이 2차인 방정식이다. 등호가 성립하는 특정 값을 찾는다.

x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a

이차부등식

ax²+bx+c≤0과 같이 이차식의 값이 조건을 만족하는 범위를 찾는다. 경계는 대응하는 이차방정식의 근으로 결정된다.

ax² + bx + c ≤ 0

방정식은 허용되는 시간과 촬영 시간이 정확히 같아지는 경계를 찾고, 부등식은 그 시간을 넘지 않는 모든 가능한 인원을 찾는다.

악수 횟수를 이차식으로 모델링하기

n명이 서로 다른 모든 사람과 한 번씩 악수한다고 하자. 첫 번째 사람은 n−1명과 악수하고, 두 번째 사람도 n−1명과 악수한다. 이렇게 세면 한 악수를 두 사람이 각각 한 번씩 세므로 실제 횟수의 두 배가 된다.

악수 횟수 h = n(n−1) / 2

또는 사람이 한 명씩 들어오는 상황으로 생각할 수도 있다. 두 번째 사람은 1번, 세 번째 사람은 2번, n번째 사람은 n−1번 새롭게 악수한다.

h = 1 + 2 + 3 + ··· + (n−1) = n(n−1) / 2

식을 전개하면 h=(n²−n)/2가 된다. 사람 수 n이 두 배가 되면 악수 횟수는 단순히 두 배가 아니라 약 네 배가 된다. 사람 사이의 모든 쌍을 세기 때문에 이차식이 나타나는 것이다.

사람 수 n	계산	악수 횟수 h
4명	4×3÷2	6회
10명	10×9÷2	45회
25명	25×24÷2	300회
100명	100×99÷2	4,950회

이차방정식으로 경계값 구하기

악수 사진 한 장을 찍는 데 10초가 걸린다고 하자. n명의 모든 악수 사진을 찍는 데 필요한 시간 t는 다음과 같다.

t = 10 × n(n−1)/2 = 5n(n−1)

책에서는 3,100초를 사용할 수 있는 상황을 다룬다. 촬영 시간이 3,100초와 정확히 같다고 놓으면 다음 이차방정식이 만들어진다.

5n(n−1) = 3,100 n² − n − 620 = 0

근의 공식을 적용하면 양의 근은 약 25.4이다. 사람 수는 자연수이므로 정확히 3,100초를 사용하게 하는 인원은 존재하지 않는다. 25명은 3,000초가 걸리고 26명은 3,250초가 걸린다.

해석할 때 주의할 점계산 결과가 25.4명이라고 해서 실제로 0.4명을 추가할 수는 없다. 현실의 수량은 자연수이므로 주변 정수 값을 원래 조건에 다시 대입해야 한다.

이차부등식으로 최대 인원 구하기

새로운 상황을 생각해 보자. 촬영 가능 시간이 1시간, 즉 3,600초이고 모든 악수 사진을 찍어야 한다. 질문은 “촬영 시간이 정확히 3,600초가 되는 인원”이 아니라 3,600초를 넘지 않는 최대 인원이다. 따라서 등식이 아니라 부등식을 세워야 한다.

5n(n−1) ≤ 3,600 n² − n − 720 ≤ 0

먼저 경계가 되는 이차방정식을 푼다.

n² − n − 720 = 0 n = (1 ± √2881) / 2 양의 근 ≈ 27.34

이차식 n²−n−720은 위로 열린 포물선이므로 두 근 사이에서 0 이하이다. 사람 수 n은 양의 자연수이므로 가능한 범위는 n≤27이다.

인원	악수 횟수	촬영 시간	판정
26명	325회	3,250초	가능
27명	351회	3,510초	가능
28명	378회	3,780초	불가능

따라서 사진 한 장당 10초가 걸릴 때, 1시간 안에 모든 쌍의 악수 사진을 찍을 수 있는 최대 인원은 27명이다.

촬영 시간에 따른 최대 인원 일반화

사진 한 장을 찍는 데 s초, 전체 제한 시간을 T초라고 하면 조건은 다음과 같다.

s × n(n−1)/2 ≤ T

경계가 되는 방정식을 정리하면 다음과 같다.

n² − n − 2T/s = 0 n = (1 + √(1+8T/s)) / 2

따라서 가능한 최대 인원은 양의 근보다 크지 않은 가장 큰 자연수이다.

최대 인원 = ⌊(1 + √(1+8T/s)) / 2⌋

여기서 ⌊　⌋는 소수점 아래를 버려 그 수보다 크지 않은 가장 큰 정수를 택한다는 뜻이다. 다만 실제 상황에서는 사람 수를 구한 뒤 원래 부등식에 대입해 확인하는 것이 안전하다.

제한 시간 T	1장당 시간 s	계산된 경계	최대 인원
30분(1,800초)	10초	약 19.48명	19명
1시간(3,600초)	10초	약 27.34명	27명
2시간(7,200초)	10초	약 38.45명	38명
1시간(3,600초)	5초	약 38.45명	38명

촬영 가능 시간을 두 배로 늘려도 최대 인원은 두 배가 되지 않는다. 필요한 사진 수가 사람 수의 제곱에 가깝게 증가하기 때문이다. 반대로 촬영 속도를 두 배로 높이는 것도 시간 두 배와 같은 효과를 낸다.

탐구 결과와 느낀 점

1. n명이 서로 한 번씩 악수하는 횟수는 n(n−1)/2이며, 사람 사이의 모든 쌍을 세기 때문에 이차식이 된다.
2. 정해진 시간과 정확히 같은 값을 찾을 때는 이차방정식을 사용한다.
3. 제한 시간을 넘지 않는 가능한 범위와 최대 인원을 찾을 때는 이차부등식을 사용한다.
4. 계산 결과가 소수이면 실제 인원은 자연수라는 조건을 반영하여 주변 정수를 원래 식에 대입해야 한다.
5. 사진 한 장당 10초일 때 1시간 안에 모든 악수 사진을 찍을 수 있는 최대 인원은 27명이다.

이번 탐구를 통해 방정식과 부등식의 차이가 단순히 등호와 부등호의 차이가 아니라 질문의 차이라는 것을 알게 되었다. 방정식은 경계를 찾고, 부등식은 그 경계를 기준으로 가능한 범위를 판단한다.

또한 사람 수가 조금 늘어도 필요한 시간이 빠르게 증가하는 이유를 이차식으로 설명할 수 있었다. 행사의 일정 계획, 통신망의 연결 수, 스포츠 경기의 대진 수처럼 모든 두 대상을 짝짓는 상황에서도 같은 모델을 사용할 수 있다.

참고 자료

1. YBM, 『공통수학1』, 방정식과 부등식 단원 — 이차방정식과 이차부등식의 교과 개념.
2. 『세상을 이해하는 아름다운 수학공식』, ‘다이어그램: 신비의 장미’, 208~215쪽.

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